Question

本題有（1），（2），（3）三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題計分．作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑．
（1）選修4-2：矩陣與變換
如圖所示：△OAB在伸縮變換M作用下變為△OA₁B₁．
（i）求矩陣M的特征值及相應的特征向量；
（ii）求逆矩陣M^-1以及（M^-1）²⁰
（2）選修4-4：坐標系與參數方程．
已知曲線C₁的參數方程為

x=2sinθ y=cosθ

（θ為參數），曲線C₂的參數方程為

x=2t y=t+1

（t為參數）
（i）若將曲線C₁與C₂上各點的橫坐標都縮短為原來的一半，分別得到曲線C₁和C₂，求出曲線C₁和C₂的普通方程；
（ii）以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，求過極點且與C₂垂直的直線的極坐標方程．
（3）選修4-5：不等式選講
已知a，b，c為實數，且a+b+c+2-2m=0，a²+

b 2

4

+

c 2

9

+m-1=0
（i）求證：a²+

b 2

4

+

c 2

9

≥

(a+b+c) 2

14

（ii）求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）（i）先設出所求矩陣，利用待定系數法建立一個四元一次方程組，解方程組即可，先根據特征值的定義列出特征多項式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應的特征向量．
（ii）再根據求逆矩陣的公式求出逆矩陣；
（2）（i）橫坐標都縮短為原來的一半，就是將x的值變為原來的一半就可求出變換后的曲線方程，再利用同角三角函數的關系進行消元即可；
（ii）先求出過原點且與曲線C₂′垂直的直線方程的普通方程，再將普通方程化成極坐標方程即可．
（3）（i）根據柯西不等式直接證明即可；
（ii）將（i）中的a、b、c用等式a+b+c+2-2m=0，a²+

b 2

4

+

c 2

9

+m-1=0代入，消去a、b、c得到關于m的不等關系，解之即可求出m的范圍．

解答：解：（1）（i）根據圖形可知將點B（1，1）變成成了B'（2，3），將A點（2，0）變成了A'（4，0）
設

a b c d

，則有

a b c d

 

1 1

=

2 3

，

a b c d

 

2 0

=

4 0

，
所以

a+b=2 c+d=3

且

2a+0=4 2c+0=0

，
解得

a=2 b=0 c=0 d=3

所以M=

2 0 0 3

，
矩陣M的特征多項式為 f(λ)=

.

λ-2     0  0    λ-3

.

=λ2-5λ+6，
令f（λ）=0，解得λ₁=2，λ₂=3，
將λ₁=2代入二元一次方程組

(λ-2)•x+0•y=0 0•x+(λ-3)y=0

解得y=0，
所以矩陣M屬于特征值1的一個特征向量為

1 0

；
同理，矩陣M屬于特征值2的一個特征向量為

0 1

；
（ii）M=

2 0 0 3

，從而M^-1=

1 2 0 0 1 3

∴（M^-1）²⁰=

1 250 0 0 1 350

（2）（i）C₁′：

x=sinθ y=cosθ

（θ為參數），（2分）
C₂′：

x=t y=t+1

（t為參數）（4分）
C₁′的普通方程：x²+y²=1，C₂′的普通方程：y=x+1（6分）
（ii）在直角坐標系中過極點即為過原點與曲線C₂′垂直的直線方程：即為y=-x（8分）
在極坐標系中，直線化為tanθ=1，方程為θ=

π

4

或 θ=

3π

4

（3）（i）根據柯西不等式可得（a²+

b2

4

+

c2

9

）（1+2²+3²）≥(a×1+

b

2

×2+

c

3

×3)2=（a+b+c）²
∴a²+

b2

4

+

c 2

9

≥

(a+b+c)2

14

（ii）∵a+b+c+2-2m=0，a²+

b2

4

+

c2

9

+m-1=0
∴1-m≥

(2m-2)2

14

解得：1≤m≤

9

2

點評：本題主要考查來了逆矩陣與投影變換，以及圓的參數方程和直線的參數方程，以及不等式的證明等基礎知識，是一道綜合題，屬于中檔題．