Question

已知{a_n}是等差數列，{b_n}是公比為q的等比數列，a₁=b₁，a₂=b₂≠a₁，記S_n為數列{b_n}的前n項和，
（1）若b_k=a_m（m，k是大于2的正整數），求證：S_k-1=（m-1）a₁；
（2）若b₃=a_i（i是某一正整數），求證：q是整數，且數列{b_n}中每一項都是數列{a_n}中的項；
（3）是否存在這樣的正數q，使等比數列{b_n}中有三項成等差數列？若存在，寫出一個q的值，并加以說明；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：設 的公差為d，由，知，（）
（1）因為
所以

所以。
（2）
由
所以
解得或
但
所以
因為i是正整數，
所以是整數，即q是整數，
設數列中任意一項為
設數列中某一項=
現在只要證明存在正整數m，使得，即在方程m中有正整數解即可，
所以
若，則
那么
當時，因為
只要考慮的情況
因為
所以
因此q是正整數，
所以m是正整數，
因此數列中任意一項為與數列的第項相等，
從而結論成立。
（3）設數列中有三項成等差數列，則有

設
所以
令
則
∵
所以
所以（舍去負值）
即存在使得中有三項成等差數列。