Question

“a=1”是“函數f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+

1

2

ax+1沒有極值”的（　　）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：函數f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+

1

2

ax+1在R上沒有極值點，即函數的導數等于0無解或有唯一解（但導數在點的兩側符號相同），又導數為 f^′（x）=x²+ax+

a

2

，故判別式△≤0，解不等式求得實數a的取值范圍．最后再看與“a=1”的關系即得．

解答：解：函數f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+

1

2

ax+1在R上沒有極值點，
即函數的導數等于0無解或有唯一解（但導數在點的兩側符號相同）．
函數f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+

1

2

ax+1 的導數為 f^′（x）=x²+ax+

a

2

，
∴△=a²-2a≤0，∴0≤a≤2，
由于“a=1”⇒“0≤a≤2”；反之不成立．
故“a=1”是“函數f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+

1

2

ax+1沒有極值”的充分不必要條件．
故選A．

點評：本題考查函數在某點取得極值的條件，以及一元二次方程無解或只有唯一解的條件．屬于基礎題．