Question

“a=1”是“函數f(x)=

2x-a

2x+a

在其定義域上為奇函數”的

充分不必要

條件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）

Answer 1

分析：當a=1時，函數f(x)=

2x-1

2x+1

，其定義域為R，f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

(2-x-1)•2x

(2-x+1)•2x

=

1-2x

1+2x

=-f（x），可得f（x）為奇函數；但反之不成立，因為當a=-1時也能使函數為奇函數．

解答：解：當a=1時，函數f(x)=

2x-1

2x+1

，其定義域為R，
f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

(2-x-1)•2x

(2-x+1)•2x

=

1-2x

1+2x

=-f（x），可得f（x）為奇函數；
“函數f(x)=

2x-a

2x+a

在其定義域上為奇函數”不能推出“a=1”，
因為當a=-1時，f(x)=

2x+1

2x-1

，其定義域為{x|x≠0}，
f（-x）=

2-x+1

2-x-1

=

(2-x+1)•2x

(2-x-1)•2x

=

1+2x

1-2x

=-f（x），也可得f（x）為奇函數．
故“a=1”是“函數f(x)=

2x-a

2x+a

在其定義域上為奇函數”的充分不必要條件．
故答案為：充分不必要．

點評：本題為充要條件的判斷，熟練掌握證明函數的奇偶性的方法是解決問題的關鍵，屬基礎題．