Question

若x、y滿足

x+y≥4 x≤4 y≤4

，求目標函數的最值：
（1）z₁=x+2y；
（2）z₂=x-2y；
（3）z₃=

y+2

x+1

；
（4）z₄=

y

x

；
（5）z₅=

(x+1)2+(y+2)2

；
（6）z₆=（x+2）²+（y+3）²；
（7）z₇=x²+y²．

Answer 1

考點：簡單線性規劃的應用

專題：計算題,作圖題,不等式的解法及應用

分析：由題意作出其平面區域，
（1）化z₁=x+2y為y=-

1

2

x+

1

2

z₁，

1

2

z₁是y=-

1

2

x+

1

2

z₁的截距，從而解得；
（2）化z₂=x-2y為y=

1

2

x-

1

2

z₂，同上；
（3）z₃=

y+2

x+1

的幾何意義是陰影內的點與點（-1，-2）的斜率；
（4）z₄=

y

x

的幾何意義是陰影內的點與點（0，0）的斜率；
（5）z₅=

(x+1)2+(y+2)2

的幾何意義是陰影內的點與點（-1，-2）的距離，
（6）z₆=（x+2）²+（y+3）²的幾何意義是陰影內的點與點（-2，-3）的距離的平方；
（7）z₇=x²+y²的幾何意義是陰影內的點與點（0，0）的距離的平方．

解答： 解：由題意作出其平面區域，

（1）化z₁=x+2y為y=-

1

2

x+

1

2

z₁，
故當過點D（4，4）時有最大值12，
當過點E（4，0）時有最小值4；
（2）化z₂=x-2y為y=

1

2

x-

1

2

z₂，
故當過點E（4，0）時有最大值4，
過點D（4，4）時有最小值4-8=-4；
（3）z₃=

y+2

x+1

的幾何意義是陰影內的點與點（-1，-2）的斜率，
故

0+2

4+1

≤

y+2

x+1

≤

4+2

0+1

，
即z₃=

y+2

x+1

的最大值為6，最小值

2

5

；
（4）z₄=

y

x

的幾何意義是陰影內的點與點（0，0）的斜率；
最小值為0，沒有最大值；
（5）z₅=

(x+1)2+(y+2)2

的幾何意義是陰影內的點與點（-1，-2）的距離，
故最大值為

(4+1)2+(4+2)2

=

61

，
最小值為

|-1-2-4|

2

=

7 2

2

；
（6）z₆=（x+2）²+（y+3）²的幾何意義是陰影內的點與點（-2，-3）的距離的平方；
故最大值為（4+2）²+（4+3）²=85；
最小值為(

|-2-3-4|

2

)2=

81

2

；
（7）z₇=x²+y²的幾何意義是陰影內的點與點（0，0）的距離的平方．
故最大值為4²+4²=32；
最小值為（2

2

）²=8．

點評：本題考查了簡單線性規劃，作圖要細致認真，屬于難題．