Question

（2011•鹽城二模）已知函數f（x）=x+

1

x

+a²，g（x）=x³-a³+2a+1，若存在ξ₁、ξ₂∈[

1

a

，a]（a＞1），使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|≤9，則a的取值范圍是

（1，4]

．

Answer 1

分析：存在ξ₁、ξ₂∈[

1

a

，a]（a＞1），使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|≤9，等價于存在x∈[

1

a

，a]（a＞1），使得|f（x）_min-g（x）_max|≤9，求出相應函數的最值，得到不等式，即可求出a的取值范圍

解答：解：存在ξ₁、ξ₂∈[

1

a

，a]（a＞1），使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|≤9，等價于存在x∈[

1

a

，a]（a＞1），使得|f（x）_min-g（x）_max|≤9
∵函數f（x）=x+

1

x

+a²，ξ₁∈[

1

a

，a]（a＞1），∴f（x）=x+

1

x

+a²≥2+a²，即f（x）_min=2+a²；
∵g（x）=x³-a³+2a+1，∴g′（x）=3x²，∴函數g（x）在[

1

a

，a]（a＞1）上單調遞增，
∴g（x）_max=g（a）=2a+1
∴|2+a²-2a-1|≤9
∴-3≤a-1≤3
∴-2≤a≤4
∵a＞1，∴1＜a≤4．
故答案為：（1，4]．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的最值，考查學生分析解決問題的能力，將存在ξ₁、ξ₂∈[

1

a

，a]（a＞1），使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|≤9，轉化為存在x∈[

1

a

，a]（a＞1），使得|f（x）_min-g（x）_max|≤9是解題的關鍵．