Question

4．已知點A是拋物線$y=\frac{1}{4}{x^2}$的對稱軸與準線的交點，點F為該拋物線的焦點，點P在拋物線上，且滿足|PF|=m|PA|，當M取得最小值時，點P恰好在以A，F為焦點的雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}$
• C． $\sqrt{2}+1$
• D． $\sqrt{5}+1$

Answer 1

分析 過P作準線的垂線，垂足為N，則由拋物線的定義，結合||PF|=m|PA|，可得$\frac{|PN|}{|PA|}$=m，設PA的傾斜角為α，則當m取得最小值時，sinα最小，此時直線PA與拋物線相切，求出P的坐標，利用雙曲線的定義，即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：拋物線的標準方程為x²=4y，
則拋物線的焦點為F（0，1），準線方程為y=-1，
過P作準線的垂線，垂足為N，
則由拋物線的定義可得|PN|=|PF|，
∵|PF|=m|PA|，∴|PN|=m|PA|，則$\frac{|PN|}{|PA|}$=m，
設PA的傾斜角為α，則sinα=m，
當m取得最小值時，sinα最小，此時直線PA與拋物線相切，
設直線PA的方程為y=kx-1，代入x²=4y，
可得x²=4（kx-1），
即x²-4kx+4=0，
∴△=16k²-16=0，∴k=±1，
∴P（2，1），
∴雙曲線的實軸長為|PA|-|PB|=2（$\sqrt{2}$-1），
∴雙曲線的離心率為$\frac{2}{2（\sqrt{2}-1）}$=$\sqrt{2}$+1．
故選C．

點評 本題考查拋物線的性質，考查雙曲線、拋物線的定義，考查學生分析解決問題的能力，解答此題的關鍵是明確當m取得最小值時，sinα最小，此時直線PA與拋物線相切，屬中檔題．