Question

已知數列{a_n}的前n項和為s_n，點（n，s_n）（n∈N^*）在函數y=x²的圖象上，數列{b_n}滿足b_n=6b_n-1+2ⁿ⁺¹（n≥2，n∈N^*），且b₁=a₁+3
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）證明列數{

bn

2n

+1}是等比數列，并求數列{b_n}的通項公式；
（3）設數列{c_n}滿足對任意的n∈N*，均有an+1=

c1

b1+2

+

c2

b2+22

+

c3

b2+23

+…+

cn

bn+2n

成立c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₁₀的值．

Answer 1

分析：（1）本題考查由數列的前n項和求數列的通項，解題時要注意驗證當n=1時，是否成立，若成立寫成一個表達式，若不成立則要分段寫出通項．
（2）構造一個新數列，要求證明數列是一個等比數列，這種問題一般用等比數列的定義，即用后一項比前一項，若得到的結果是一個常數，得到數列是等比數列．
（3）根據上一問得到的結果，寫出分式的分母的最簡結果，根據數列的定義得到新數列的通項，注意是一個分段形式，用等比數列的前n項和公式得到結果．

解答：解：（1）∵點（n，s_n）在函數y=x²的圖象上，
∴s_n=n²（n∈N^*）
當n=1時，a₁=s₁=1²=1?
當n≥2時，a_n=s_n-s_n-1=n²-（n-1）²=2n-1
a₁=1也適合，
∴{a_n}的通項公式為a_n=2n-1（n∈N^*）
（2）∵b_n=6b_n-1+2ⁿ⁺¹（n≥2）
∴

bn

2n

+1=

6bn-1+2n+1

2n

+1=3

bn-1

2n-1

+3=3(

bn-1

2n-1

+1)?(n≥2)
∵b1=a1+3=4?∴

b1

21

+1=3
∴{

bn

2n

+1}其首項為3，公比為3的等比數列
∴

bn

2n

+1=3.3n-1=3n?∴bn=6n-2n(n∈N*)
（3）由（2）得b_n+2ⁿ=6ⁿ
由題意得n∈N*均有an+1=

c1

b1+2

+

c1

b2+22

+

c3

b3+23

++

cn

bn+2n

∴an=

c1

b1+2

+

c1

b2+22

+

c3

b3+23

++

cn-1

bn-1+2n-1

(n≥2)
∴an+1-an=

cn

bn+2n

=2(n≥2)∴cn=2.6n(n≥2)(10分)又∵a2=

c1

b1+2

=3?∴c1=3(b1+2)=3•6=18
∴cn=

18(n=1) 2•6n(n≥2)

?(12分)
∴c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₁₀=18+2（6²+6³+6⁴+…+6²⁰¹⁰）=6+2（6¹+6²+6³+…+6²⁰¹⁰）
=6+2•

6(62010-1)

6-1

=

2•62011+18

5

=

2

5

（6²⁰¹¹+9）

點評：有的數列可以通過遞推關系式構造新數列，構造出一個我們較熟悉的數列，從而求出數列的通項公式．這類問題考查學生的靈活性，考查學生分析問題及運用知識解決問題的能力，這是一種化歸能力的體現．