Question

定義在R上的函數f（x）滿足：對任意a，b∈R都有f（a+b）=f（a）•f（b），且f（1）=3．
（1）求f（0），f（-1）的值；
（2）若當x＞0時，有f（x）＞1，判斷函數f（x）的單調性，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）令b=0，可求f（0）；令a=1，b=-1，可求f（-1）；
（2）確定f(-x)=

1

f(x)

，證明當x＞0時，有f（x）＞1，利用單調性的定義，即可得出結論．

解答：解：（1）令b=0，則f（a）=f（a）•f（0），所以f（0）=1．
令a=1，b=-1，則f（0）=f（1-1）=f（1）•f（-1），則f(-1)=

1

2

．
（2）令a=x，b=-x，則f（0）=f（x-x）=f（x）•f（-x），則f(-x)=

1

f(x)

．
因為當x＞0時，有f（x）＞1，所以對于x∈R，f（x）＞0，又當x＞0時，有f（x）＞1．
設任意實數x₁＞x₂，

f(x1)

f(x2)

=f(x1-x2)＞1，即f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）是R上的增函數．

點評：本題考查賦值法的運用，考查函數的單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．