Question

已知函數(shù)f （x）=4sinx•sin²（

π

4

+

x

2

）+2cos²x+1+a，x∈R是一個奇函數(shù)．
（1）求a的值和f （x）的值域；
（2）設(shè)w＞0，若y=f （wx）在區(qū)間[-

π

2

，

2π

3

]的增函數(shù)，求w的取值范圍；
（3）設(shè)|θ|＜

π

2

，若對x取一切實數(shù)，不等式4+f （x+θ）f （x-θ）＞2f （x）都成立，求θ的取值范圍．

Answer 1

分析：首先將函數(shù)化簡（1）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)求出a的值，然后有正弦函數(shù)求出值域；
（2）寫出函數(shù)f （wx）的式子，然后根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出x的范圍，進而根據(jù)區(qū)間[-

π

2

，

2π

3

]的增函數(shù)，求出w的取值范圍；
（3）首先求出4+f （x+θ）f （x-θ）并化簡和求出最小值

3

4

，再利用sin²θ＜

3

4

，求出結(jié)果．

解答：解：化簡得f（x）=2sinx+a+3
（1）f（-x）=-f（x）?a=-3∴f（x）=2sinx
f（x）∈[-2，2]（4分）
（2）f（wx）=2sinwx（w＞0）
-

π

2

+2kπ≤wx≤2kπ+

π

2

k∈Z
-

π

2w

+

2kπ

w

≤x≤

kπ

w

+

π

2w

- π 2w ≤- π 2 2 3 π≤ π 2w

?0＜w≤

3

4

綜上以上，0＜w≤

3

4

（8分）
（3）|θ|＜

π

2

，x∈R時
4+4sin（x+θ）sin（x-θ）＞4sinx
即sin²x-sinx+1＞sin²θ恒成立
（sin²x-sinx+1）_min=

3

4

∴sin²θ＜

3

4

-

3

2

＜sinθ＜

3

2

θ∈（-

π

2

，

π

2

）
∴θ∈（-

π

3

，

π

3

）（13分）

點評：本題考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性以及不等式恒成立問題，對于不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)最值問題即可．屬于中檔題．