Question

已知

a

=（sinθ，-2）與

b

=（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，

π

2

）．
（1）求sinθ和cosθ的值；
（2）若sin（θ-j）=

10

10

，0＜j＜

π

2

，求j的值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)

a

與

b

互相垂直得到

a

•

b

=0，然后將

a

=（sinθ，-2）與

b

=（1，cosθ）代入可得到sinθ=2cosθ，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和θ的取值范圍可求得sinθ和cosθ的值．
（2）先根據(jù)j與θ的范圍確定θ-j的范圍，進(jìn)而根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得cos（θ-j）的值，再由cosj=cos[θ-（θ-j）]和兩角和與差的余弦公式可求得最后答案．

解答：解：（1）因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

a

與

b

互相垂直，
所以

a

•

b

=0．
所以sinθ-2cosθ=0，即sinθ=2cosθ．
因?yàn)閟in²θ+cos²θ=1，
所以（2cosθ）²+cos²θ=1．
解得cos²θ=

1

5

．則sin²θ=

4

5

．
因?yàn)棣取剩?，

π

2

），
所以sinθ＞0，cosθ＞0，
所以sinθ=

2 5

5

，cosθ=

5

5

．
（2）因?yàn)?＜j＜

π

2

，0＜θ＜

π

2

，所以-

π

2

＜θ-j＜

π

2

，
所以cos（θ-j）=

1-sin2(θ-j)

=

3 10

10

，
所以cosj=cos[θ-（θ-j）]=cosθcos（θ-j）+sinθsin（θ-j）=

2

2

．所以j=

π

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和兩角和與差的公式．考查基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用，三角函數(shù)與向量的綜合題是高考的熱點(diǎn)問題，每年必考，一定要加強(qiáng)練習(xí)．