Question

設函數f(x)=-

1

2

cos2x+2acosx-2a+

3

2

的最大值為g（a）．
（1）求g（a）；
（2）是否存在實數a使得g（a）=2若存在求出a及此時f（x）的最大值，
若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式化簡f（x）的解析式為-cos²x+2acosx-2a+2，令cosx=t，t∈[-1，1]，可得
f（t）=-t²+2at-2a+2對稱軸為t=a，分a≤-1時，-1＜a＜1時，a≥1時，利用函數的單調性，分別求出g（a）．（2）令 g（a）=2，求出a值，此時，f（x）=2-cos²x，最大值為3．

解答：解：（1）f(x)=-

1

2

cos2x+2acosx-2a+

3

2

=-cos²x+2acosx-2a+2
令cosx=t，t∈[-1，1]，∴f（t）=-t²+2at-2a+2對稱軸為t=a，
 當a≤-1時，函數f（t）在[-1，1]上是減函數，∴g（a）=f（-1）=-4a+1．
當-1＜a＜1時，g（a）=f（a）=a²-2a+2．
當a≥1時函數f（t）在[-1，1]上是增函數，∴g（a）=f（1）=1．
綜上，g（a）=

-4a+1 a≤-1 a2-2a+2 -1＜a＜1 1 a≥1

．
（2）令-4a+1=2，解得 a=-

1

4

，不滿足條件．
令a²-2a+2=2，解得 a=0，或 a=2（舍去）．
故存在 a=0，使得g（a）=2成立．
此時，f（x）=2-cos²x，最大值為3．

點評：本題考查二倍角公式，二次函數的性質，體現了分類討論的數學思想，分誒討論求出 g（a）是解題的難點．