Question

已知向量

a

=（

1

2

cos²x+1，1），

b

=（1，

3

2

sinx•cosx）．
（1）若y=

a

•

b

，求y的周期；
（2）若x∈[-

π

6

，

π

4

]，求y的最值，并求出y取得最值時x的值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,平面向量數量積的運算

專題：計算題,三角函數的圖像與性質,平面向量及應用

分析：（1）由向量的數量積的坐標公式和二倍角公式及兩角和的正弦公式，化簡函數式，再由周期公式即可得到；
（2）由x的范圍，求得2x+

π

6

的范圍，再由正弦函數的圖象和性質，即可得到最值及對應的x的值．

解答： 解：（1）y=

a

•

b

=

1

2

cos²x+1+

3

2

sinx•cosx
=1+

1

4

（1+cos2x）+

3

4

sin2x
=

5

4

+

1

2

（

1

2

cos2x+

3

2

sin2x）=

5

4

+

1

2

sin(2x+

π

6

)，
則周期為

2π

2

=π；
（2）由于x∈[-

π

6

，

π

4

]，則2x+

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]，
sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
則當x=-

π

6

時，y取得最小值

5

4

-

1

4

=1，
當x=

π

6

時，y取得最大值

5

4

+

1

2

=

7

4

．

點評：本題考查向量的數量積的坐標公式，考查三角函數的二倍角公式和兩角和的正弦公式的運用，考查三角函數的周期公式和最值的求法，考查運算能力，屬于中檔題．