Question

給出的下列命題：
（1）cos47°cos13°-cos43°sin13°值為

3

2

；
（2）

a

•

b

=

b

•

c

，則

b

=

0

或

a

=

c

；
（3）函數f（x）=sin（sinx+cosx）的最大值為

2 +1

2

；
（4）函數y=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）是奇函數，則φ=2kπ+

π

2

(k∈z)．
其中正確的命個數為（　　）

• A、0個
• B、1個
• C、2個
• D、3個

Answer 1

分析：（1）把原式利用誘導公式及兩角和與差的正弦函數公式化簡，再利用特殊角的三角函數值求出值，作出判斷即可；
（2）把原式變形后，根據平面向量的數量積為0，得到兩向量垂直，本選項錯誤；
（3）先利用兩角和的正弦函數公式及特殊角的三角函數值求出sinx+cosx的值域，即為sin（sinx+cosx）的定義域，即可求出f（x）的最大值，作出判斷；
（4）根據奇函數的意義f（-x）=-f（x），即可求出φ的度數，作出判斷．

解答：解：（1）cos47°cos13°-cos43°sin13°
=sin43°cos13°-cos43°sin13°
=sin（43°-13°）
=sin30°=

1

2

，本選項錯誤；
（2）∵

a

•

b

=

b

•

c

，即

b

•（

a

-

c

）=0，
∴

b

⊥（

a

-

c

），本選項錯誤；
（3）∵sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
∴sinx+cosx∈（-

2

，

2

），
函數f（x）=sin（sinx+cosx）的值域為[-sin

2

，sin

2

]，
∴f（x）的最大值為sin

2

，本選項錯誤；
（4）∵函數y=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）是奇函數，
∴Acos（-ωx+φ）=-Acos（ωx+φ）=Acos[π-（ωx+φ）]，
∴（-ωx+φ）=π-（ωx+φ）+2kπ（k∈Z），
解得：φ=kπ+

π

2

（k∈Z），本選項錯誤，
則四個選項中正確命題的個數為0個．
故選A

點評：此題綜合考查了兩角和與差的正弦函數公式，平面向量的數量積的運算，三角函數最值以及函數奇偶性．要求學生綜合運用所學知識，熟練掌握公式及法則是解本題的關鍵．