Question

設f(x)是定義在［－1，1］上的奇函數，且對任意的實數a,b∈［－1,1］,當a+b
≠0時，都有>0.
（1）若a>b,試比較f(a)與f(b)的大小;
（2）解不等式f(x－)<f(x－);
（3）如果g(x)=f(x－c)和h(x)=f(x－c²)這兩個函數的定義域的交集是空集，求c的取值范圍.

Answer 1

解：(1)任取x₁,x₂∈［－1,1］且設x₁<x₂,由奇函數的定義和題設不等式，得
f(x₂)－f(x₁)=f(x₂)+f(－x₁)=·(x₂－x₁)>0,
∴f(x)在［－1，1］上是增函數.
∵a,b∈［－1,1］且a>b,∴f(a)>f(b)…………………………………4分
(2)∵f(x)是［－1，1］上的增函數
∴不等式f(x－)<f(x－)等價于不等式組

∴原不等式的解集為{x|－≤x≤}．…………………………………8分
(3)設函數g(x)、h(x)的定義域分別是P和Q，則P={x|－1≤x－c≤1}={x|c－1≤x≤c+1},Q={x|－1≤x－c²≤1}={x|c²－1≤x≤c²+1}，
若P∩Q=，那么c+1<c²－1或c²+1<c－1.
解得c的取值范圍是(－∞,－1)∪(2,+∞). ………………………………12分

解析