Question

已知三點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），，曲線E過C點(diǎn)，且動點(diǎn)P在曲線E上運(yùn)動，并保持|PA|+|PB|的值不變．
（I）求曲線E的方程；
（II）若C、M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是曲線E上的不同三點(diǎn)，直線CM、CN的傾斜角互補(bǔ)．問直線MN的斜率是否是定值？如果是，求出該定值，如果不是，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由于保持|PA|+|PB|的值不變，可知動點(diǎn)P到兩個定點(diǎn)的距離和這常數(shù)，結(jié)合橢圓的定義知P點(diǎn)軌跡是橢圓，從而問題解決；
（II）對于探索性問題，可先設(shè)直線CM、CN方程，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去y得到一個關(guān)于x的二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出交點(diǎn)的坐標(biāo)（用k表示），最后利用斜率公式求出直線MN的斜率看它是不是常數(shù)即可．
解答：解：（I）由題意知2a=|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=4＞2=|AB|=2c，（3分）
∴由定義得P點(diǎn)軌跡是橢圓，
且b²=a²-c²=3．
因此，曲線E的方程為（5分）
（II）由條件知直線CM，CN的斜率存在且不為0，
設(shè)直線CM的方程為，
由消去y，
整理得（4k²+3）x²+4k（2k+3）x+4k²+12k-3=0
∵C在橢圓上，
∴方程兩根為，（9分）
∵直線PM，PN的傾斜角互補(bǔ)，
∴直線PM，PN的斜率互為相反數(shù)，
∴（11分）
則
又，
∴
∴直線MN的斜率（定值）（13分）
點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的定義、軌跡方程、直線與圓錐曲線的綜合問題等知識．屬于基礎(chǔ)題．