Question

8．在直角坐標系xOy中，曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=2+\sqrt{7}cosα\\ y=\sqrt{7}sinα\end{array}\right.$（α為參數）．以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρ=8cosθ，直線l的極坐標方程為$θ=\frac{π}{3}（ρ∈R）$．
（Ⅰ）求曲線C₁的極坐標方程與直線l的直角坐標方程；
（Ⅱ）若直線l與C₁，C₂在第一象限分別交于A，B兩點，P為C₂上的動點，求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用參數方程與普通方程轉化，求得C₁的普通方程，將l的極坐標方程為$θ=\frac{π}{3}（ρ∈R）$轉化成曲線C₁的極坐標方程；
（Ⅱ）由C₂的直角坐標方程為（x-4）²+y²=16，求得ρ₁²-2ρ₁-3=0，代入求得ρ₁，ρ₂，求得丨AB丨，AB為底邊的△PAB的高的最大值為4+2$\sqrt{3}$．利用三角形的面積公式，即可求得△PAB面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）依題意得，曲線C₁的普通方程為（x-2）²+y²=7，
曲線C₁的極坐標方程為ρ²-4ρcosθ-3=0，（3分）
直線l的直角坐標方程為y=$\sqrt{3}$x．（5分）
（Ⅱ）曲線C₂的直角坐標方程為（x-4）²+y²=16，由題意設A（ρ₁，$\frac{π}{3}$），B（ρ₂，$\frac{π}{3}$），
則ρ₁²-4ρ₁cosθ-3=0，即ρ₁²-2ρ₁-3=0，得ρ₁=3或ρ₁=-1（舍），
ρ₂=8cos$\frac{π}{3}$=4，則丨AB丨=丨ρ₁-ρ₂丨=1，（7分）
C₂（4，0）到l的距離為d=$\frac{丨4\sqrt{3}丨}{\sqrt{4}}$=2$\sqrt{3}$．
以AB為底邊的△PAB的高的最大值為4+2$\sqrt{3}$．
則△PAB的面積的最大值為$\frac{1}{2}$×1×（4+2$\sqrt{3}$）=2+$\sqrt{3}$．（10分）

點評 本題考查學生對直角坐標方程、參數方程、極坐標方程之間的相互轉化，利用極坐標方程求解弦長問題，三角形最值問題，通過直角坐標方程、參數方程、極坐標方程之間的互化考查化歸與轉化、數形結合的思想．