Question

經銷某品牌的汽車，顧客通常采用分期付款的方式購車．根據以往資料統計，付款期數X的分布列為：

X	1	2	3	4	5
P	0.4	0.2	0.2	0.1	0.1

經銷該品牌的汽車，若采用1期付款，其利潤為10⁴元；分2期或3期付款，其利潤為1.5×10⁴元；分4期或5期付款，其利潤為2×10⁴元．
（Ⅰ）求購買該品牌汽車的3位顧客中，至少有1位采用1期付款的概率；
（Ⅱ）記Y為經銷一輛該品牌汽車的利潤，求Y的分布列及期望E（Y）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）記“購買該品牌汽車的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”為事件A．由題意知購買該汽車的3位顧客中至少有1位采用1期付款的對立事件是，購買該汽車的3位顧客中無人采用1期付款，根據對立事件的概率公式得到結果．
（II）根據顧客采用的付款期數X的分布列對應于Y的可能取值為10⁴元，1.5×10⁴元，2×10⁴元．得到變量對應的事件的概率，寫出變量的分布列和期望．
解答：解：（Ⅰ）記“購買該品牌汽車的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”為事件A．
則表示事件“購買該商品的3位顧客中無人采用1期付款”．…（2分）
故 ，…（4分）
所以．                                      …（6分）
（Ⅱ）Y的可能取值為10⁴元，1.5×10⁴元，2×10⁴元．                 …（7分）
P（Y=10⁴）=P（X=1）=0.4，
P（Y=1.5×10⁴）=P（X=2）+P（X=3）=0.2+0.2=0.4，
P（Y=2×10⁴）=P（X=4）+P（X=5）=0.1+0.1=0.2．              …（10分）
Y的分布列為：

Y	104	1.5×104	2×104
P	F1	0.4	0.2

…（11分）
∴E（Y）=10⁴×0.4+1.5×10⁴×0.4+2×10⁴×0.2=1.4×10⁴（元）．       …（13分）
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，求離散型隨機變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個問題，題目做起來不難，運算量也不大，只要注意解題格式就問題不大．