Question

經(jīng)銷某品牌的汽車，顧客通常采用分期付款的方式購車．根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，付款期數(shù)X的分布列為：

X	1	2	3	4	5
P	0.4	0.2	0.2	0.1	0.1

經(jīng)銷該品牌的汽車，若采用1期付款，其利潤為10⁴元；分2期或3期付款，其利潤為1.5×10⁴元；分4期或5期付款，其利潤為2×10⁴元．
（Ⅰ）求購買該品牌汽車的3位顧客中，至少有1位采用1期付款的概率；
（Ⅱ）記Y為經(jīng)銷一輛該品牌汽車的利潤，求Y的分布列及期望E（Y）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）記“購買該品牌汽車的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”為事件A．由題意知購買該汽車的3位顧客中至少有1位采用1期付款的對立事件是，購買該汽車的3位顧客中無人采用1期付款，根據(jù)對立事件的概率公式得到結(jié)果．
（II）根據(jù)顧客采用的付款期數(shù)X的分布列對應(yīng)于Y的可能取值為10⁴元，1.5×10⁴元，2×10⁴元．得到變量對應(yīng)的事件的概率，寫出變量的分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）記“購買該品牌汽車的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”為事件A．
則

.

A

表示事件“購買該商品的3位顧客中無人采用1期付款”．…（2分）
故 P(

.

A

)=(1-0.4)3=0.216，…（4分）
所以P(A)=1-P(

.

A

)=0.784．                                      …（6分）
（Ⅱ）Y的可能取值為10⁴元，1.5×10⁴元，2×10⁴元．                 …（7分）
P（Y=10⁴）=P（X=1）=0.4，
P（Y=1.5×10⁴）=P（X=2）+P（X=3）=0.2+0.2=0.4，
P（Y=2×10⁴）=P（X=4）+P（X=5）=0.1+0.1=0.2．              …（10分）
Y的分布列為：

Y	104	1.5×104	2×104
P	F1	0.4	0.2

…（11分）
∴E（Y）=10⁴×0.4+1.5×10⁴×0.4+2×10⁴×0.2=1.4×10⁴（元）．       …（13分）

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個(gè)問題，題目做起來不難，運(yùn)算量也不大，只要注意解題格式就問題不大．