Question

已知A，B是△ABC的兩個內角，，（其中是互相垂直的單位向量），若．
（1）試問tanA•tanB是否為定值，若是定值，請求出，否則請說明理由；
（2）求tanC的最大值，并判斷此時三角形的形狀．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用向量數量積的運算性質=，將轉化為三角方程，再利用二倍角公式和兩角和差的余弦公式將方程化簡即可求得tanA•tanB的值；
（2）求tanC的最大值即求tan（A+B）的最小值，利用兩角和的正切公式及（1）中結論，即可利用均值定理求得tan（A+B）的最小值，利用均值定理等號成立的條件，即可求得此時三角形的形狀
解答：解：（1）tanA•tanB為定值，證明如下：
由=，得=
∴1+cos（A+B）+=
即2cos（A+B）=cos（A-B），即cosAcosB=3sinAsinB
∴tanAtanB=
（2）∵tanAtanB=＞0，∴tanA＞0，tanB＞0
∴tan（A+B）==（tanA+tanB）≥×2=
∴tan（A+B）≥，即-tanC≥
∴tanC≤-
當tanC=-時，，即tanA=tanB=
∴A=B=30°
∴tanC的最大值為-，此時△ABC為等腰三角形
點評：本題主要考查了向量數量積的運算性質及其應用，三角變換公式在三角化簡和求值中的應用，利用均值定理求函數的最值的方法，屬中檔題