Question

已知tanα=2(0＜α＜

π

2

)，求下列各式的值：
（Ⅰ）

sinα+2cosα

4cosα-sinα

（Ⅱ）

2

sin(2α+

π

4

)+1．

Answer 1

分析：由正切值求和正弦和余弦有關的問題，一條思路是由正切值和正弦和余弦的平方和為1，求出正弦和余弦的值，另一種方法是把正弦和余弦變化為正切，代入正切值求解．

解答：解：（I）tanα=

sinα

cosα

=2，
且sin²α+cos²α=1，
∵0＜α＜

π

2

，得sinα＞0，cosα＞0
∴sinα=

2 5

5

，cosα=

5

5

∴原式=

2 5 5 +2 5 5

4 5 5 - 2 5 5

=2
（II）原式=sin2α+cos2α+1
=2sinαcosα+2cos²α
=2×

2 5

5

×

5

5

+ 2(

5

5

)2
=

6

5

點評：已知某角的一個三角函數值，求該角的其它三角函數值的方法，求值時要注意各三角函數的符號，必要時分類討論．三角函數式的化簡的方法和結果應滿足要求．