Question

已知函數f（x）=|x+a|，g（x）=-|x-3|+1．
（1）解關于x的不等式f（x）+g（x）＞1；
（2）若對?x∈R，f（x）＞g（x）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）解絕對值不等式的方法有多種，本題可用平方法去掉絕對值，轉化為解一元一次不等式，注意討論字母a
（2）f（x）＞g（x）恒成立?|x+a|+|x-3|＞1恒成立，從而轉化為求y=|x+a|+|x-3|的最小值問題，可利用絕對值的幾何意義得到此函數的最小值

解答：解：（1）不等式f（x）+g（x）＞1，即|x+a|＞|x-3|，
兩邊平方得：2（a+3）x＞（3+a）（3-a）
∴當a=-3時，解集為∅
當a＞-3時，解集為(

3-a

2

，+∞)；
當a＜-3時，解集為(-∞，

3-a

2

)
（2）若對任意x∈R，f（x）＞g（x）恒成立，則|x+a|＞-|x-3|+1對任意實數x恒成立，即|x+a|+|x-3|＞1恒成立，
∵|x+a|+|x-3|≥|a+3|
∴|a+3|＞1，解得a＞-2或a＜-4

點評：本題考查了絕對值不等式的解法，絕對值三角不等式的應用等知識，考查了分類討論和轉化的思想方法，屬基礎題