Question

已知不等式[log₂n]，其中n為大于2的整數(shù)，[log₂n]表示不超過(guò)log₂n的最大整數(shù)。設(shè)數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)為正，且滿(mǎn)足a₁=b（b＞0），a_n≤，n=2，3，4，…
（Ⅰ）證明a_n＜，n=3，4，5，…
（Ⅱ）猜測(cè)數(shù)列{a_n}是否有極限？如果有，寫(xiě)出極限的值（不必證明）；
（Ⅲ）試確定一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)n＞N時(shí)，對(duì)任意b＞0，都有a_n＜。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵當(dāng)n≥2時(shí)，，
∴，即，
于是有，
所有不等式兩邊相加可得，
由已知不等式知，當(dāng)n≥3時(shí)有，，
∵，
∴，。
 （Ⅱ）有極限，且；
（Ⅲ）∵，令，
則有，
故取N=1024，可使當(dāng)n＞N時(shí)，都有。