Question

0＜α＜1,0＜β＜1，數列{x_n},{y_n}由以下條件確定：(x₁,y₁)=(2,1),(x_n+1,y_n+1)=(αx_n+1-α,βy_n+2-2β), (n=1,2,3,…)完成以下問題.

(1)求數列{x_n}與{y_n}的通項；

(2)求x_n，y_n；

(3)數列{x_n},{y_n}是有限數列時，當α=β時，求點(x_n,y_n)的存在范圍；

(4)數列{x_n},{y_n}是有限數列時，當β≥α²時，將點(x_n,y_n)的存在范圍用圖形表示出來.

Answer 1

解：(1)由題設得∴

∴{x_n-1}與{y_n-2}是公比分別為α,β的等比數列.

∴又

∴n=1時也成立.                                                

(2)∵0＜α＜1,0＜β＜1,∴x_n=1,y_n=2.                                      

(3)(x₁,y₁)=(2,1),2≤k≤n時，由α=β,x_k=1+α^k-1,y_k=2-α^k-1.

消去α^k-1得x_k+y_k=3,由k≥2及0＜α＜1,

∴點(x_n,y_n)在線段x+y=3(1＜x≤2)上.                                            

(4)(x₁,y₁)=(2,1),2≤k≤n時,k-1＞0,

由(2)得1＜x_k＜2,1＜y_k＜2,又(α^k-1)²=(x_k-1)²,

∴(α²)^k-1=(x_k-1)^2.∵β≥α²,∴β^k-1≥(α²)^k-1,即2-y_k≥(x_k-1)^2.

∴y_k≤-(x_k-1)²+2,∴點(x_n,y_n)所在的范圍是y≤-(x-1)²+2且1＜x＜2,1＜y＜2及點(2，1)，其圖形為圖中陰影部分.