Question

集合A是由適合以下性質(zhì)的函數(shù)f（x）組成的：對于任意的x≥0，f（x）∈（1，4]，且f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)f₁（x）=2-

x

及f₂（x）=1+3•（

1

2

)x（x≥0）是否在集合A中？試說明理由；
（2）對于（1）中你認(rèn)為是集合A中的函數(shù)f（x），不等式f（x）+f（x+2）≤k對于任意的x≥0總成立．求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

（1）∵f₁（49）=2-

49

=-5∉（1，4]，∴f₁（x）不在集合A中．…（3分）
又∵x≥0，∴0＜（

1

2

)x≤1，∴0＜3•（

1

2

)x≤3，從而1＜1+3•（

1

2

)x≤4．∴f₂（x）∈（1，4]．
又f₂（x）=1+3•（

1

2

)x在[0，+∞）上為減函數(shù)，∴f₂（x）=1+3•（

1

2

)x在集合A中．…（7分）
（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）+f（x+2）=2+

15

4

•（

1

2

)x≤

23

4

．
又由已知f（x）+f（x+2）≤k對于任意的x≥0總成立，∴k≥

23

4

．
因此所求實(shí)數(shù)k的取值范圍是[

23

4

，+∞）．                      …（14分）