Question

集合A是由適合以下性質的函數組成：對于任意x≥0，f（x）∈[-2，4]，且f（x）在（0，+∞） 上是增函數．
（1）試判斷f1(x)=

x

-2及f2(x)=4-6•(

1

2

)x是否在集合A中，并說明理由；
（2）若定義：對定義域中的任意一個x都有不等式f（x）+f（x+2）＜2f（x+1）恒成立，則稱這個函數為凸函數．對于（1）中你認為在集合A中的函數f（x）是凸函數嗎？試證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）依據集合A的定義逐一判斷即可．
（2）驗證（1）中屬于集合A的函數是否滿足凸函數的定義即可．

解答：解：（1）當x=49時，f1(49)=

49

-2=5∉[-2，4]，所以f₁（x）∉A；
當x≥0時，(

1

2

)x∈(0，1]，4-6(

1

2

)x∈[-2，4），所以f₂（x）∈[-2，4]，
又當x＞0時，(

1

2

)x單調遞減，∴f2(x)=4-6(

1

2

)x單調遞增，
故f₂（x）∈A．
（2）因為f₂（x）+f₂（x+2）-2f₂（x+1）=[4-6(

1

2

)x]+[4-6(

1

2

)x+2]-2[4-6(

1

2

)x+1]
=12(

1

2

)x+1-6(

1

2

)x-6(

1

2

)x+2=-

3

2

(

1

2

)x＜0，所以，f₂（x）+f₂（x+2）＜2f₂（x+1）．
即f₂（x）對任意x都有不等式f₂（x）+f₂（x+2）＜2f₂（x+1）成立．
故f₂（x）是凸函數．

點評：本題考查了函數恒成立問題，利用所學知識解決新問題的能力．