Question

集合A是由適合以下性質的函數f（x）組成的，對于任意的x≥0，f（x）∈[-2，4）且f（x）在（0，+∞）上是增函數．
（1）試判斷f₁（x）=

x

-2及f₂（x）=4-6?（

1

2

）^x（x≥0）是否在集合A中，若不在集合A中，試說明理由；
（2）對于（1）中你認為是集合A中的函數f（x），不等式f（x）+f（x+2）＜2f（x+1）是否對于任意x≥0總成立？試證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）通過特例，判斷f₁（x）不在集合A中，求出f₂（x）的值域，即可判斷是否在集合A中．
（2）利用 （1）f₂（x）在集合A中，化簡不等式f（x）+f（x+2）-2f（x+1）通過指數的性質，推出結論即可．

解答：解：（1）∵當x=49時f₁（49）=5∉[-2，4）
∴f₁（x）不在集合A中             （3分）
又∵f₂（x）的值域[-2，4），
∴f₂（x）∈[-2，4）
當x≥0時f₂（x）為增函數，
因為y=?（

1

2

）^x是減函數，所以f₂（x）=4-6?（

1

2

）^x（x≥0）是增函數，
∴f₂（x）在集合A中               （3分）
（2）∵f₂（x）+f₂（x+2）-2f₂（x+1）
=4-6(

1

2

)x+4-6(

1

2

)x+2-2[4-6(

1

2

)x+1]
=6[2(

1

2

)x+1-(

1

2

)x-(

1

2

)x+2]=-6(

1

2

)x+2＜0(x≥0)
∴f₂（x）對任意x≥0，不等式f₂（x）+f₂（x+2）＜2f₂（x+1）總成立  （6分）

點評：本題是難度較大的題目，第一需要根據函數的值域、特殊值以及條件進行驗證．第二題目給出一個抽象函數不等式要求學生檢驗兩個已知函數式是否滿足條件，進而驗證這兩個函數是否是集合的元素，運算量較大，其中用到基本不等式，這個過程不好配湊．