Question

如圖，已知三棱錐中，，，為中點，為 中點，且為正三角形。

（Ⅰ）求證：//平面；

（Ⅱ）求證：平面⊥平面；

（III）若，，求三棱錐的體積.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）由M為AB中點，D為PB中點，得到MD//AP，推出DM//平面APC．

（Ⅱ）由△PMB為正三角形，且D為PB中點．得到MD⊥PB．

又由（1）知MD//AP，推出AP⊥PB．

推出AP⊥平面PBC，得到AP⊥BC，推出平面ABC⊥平面PAC；

（Ⅲ）V_D-BCM = V_M-BCD =。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）∵M為AB中點，D為PB中點，

∴MD//AP，  又∴MD平面ABC

∴DM//平面APC．                              3分

（Ⅱ）∵△PMB為正三角形，且D為PB中點．∴MD⊥PB．

又由（1）∴知MD//AP， ∴AP⊥PB．

又已知AP⊥PC  ∴AP⊥平面PBC，

∴AP⊥BC，  又∵AC⊥BC．                       7分

∴BC⊥平面APC，  ∴平面ABC⊥平面PAC，

（Ⅲ）∵ AB=20

∴ MB=10   ∴PB=10

又 BC=4，

∴

又MD

∴V_D-BCM = V_M-BCD =       12分

考點：本題主要考查立體幾何中的平行關系、垂直關系，體積的計算。

點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離、體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，利用向量則能簡化證明過程。本題計算體積時運用了“等體積法”，簡化了解答過程。