Question

如圖，已知三棱錐中，，，為中點，為 中點，且為正三角形。

（Ⅰ）求證：//平面；

（Ⅱ）求證：平面⊥平面；

（III）若，，求三棱錐的體積.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）、（Ⅱ）詳見解析（III）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用中位線性質得到線線平行，根據線面平行的判定判定直線與平面平行；（Ⅱ）利用正三角形中點得到線線垂直，根據平行推得線線垂直，利用直線與平面垂直判定面面垂直；（Ⅲ）利用三棱錐的體積公式計算體積.

試題解析：（Ⅰ）∵M為AB中點，D為PB中點，

∴MD//AP，   又∴MD平面ABC

∴DM//平面APC．                               3分

（Ⅱ）∵△PMB為正三角形，且D為PB中點．∴MD⊥PB．

又由（1）∴知MD//AP，  ∴AP⊥PB．

又已知AP⊥PC   ∴AP⊥平面PBC，

∴AP⊥BC，   又∵AC⊥BC．                        7分

∴BC⊥平面APC，   ∴平面ABC⊥平面PAC，

（Ⅲ）∵ AB=20

∴ MB=10    ∴PB=10

又 BC=4，.

∴.

又MD.

∴V_D-BCM = V_M-BCD =.      12分

考點：直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定，三棱錐體積計算.