Question

已知函數f（x）=5

3

cosxsinx+5cos2x+1．
（Ⅰ）求函數f（x）的周期及f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）求f（x）在[0，π]上的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先運用三角函數的兩角和與差的正弦公式及二倍角公式將函數化簡為y=Asin（ωx+ρ）+b的形式，根據周期公式可求出最小正周期；通過正弦函數的值域直接求出f（x）的最值．
（Ⅱ）將2x+

π

6

看做一個整體，根據正弦函數的性質可得2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），進而求出x的范圍，得到答案．

解答：解：（Ⅰ）函數f（x）=5

3

cosxsinx+5cos2x+1=

5 3

2

sin2x+5•

1+cos2x

2

+1=5sin（2x+

π

6

）+

7

2

．
函數f（x）的周期T=

2π

2

=π，
函數f（x）的最大值為

17

2

和最小值-

13

2

；
（Ⅱ）由（Ⅰ），f（x）=5sin（2x+

π

6

）+

7

2

．
再由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
解得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z）．當k=0時，-

π

3

≤x≤

π

6

，所以0≤x≤

π

6

；
k=1時

2π

3

≤x≤

7π

6

，∴

2π

3

≤x≤π，
所以y=f（x）的單調增區間為[0，

π

6

]，[

2π

3

，π]．

點評：本題主要考查三角函數最小正周期的求法、正弦函數的定義域和值域和單調區間的求法，一般都是將函數化簡為y=Asin（ωx+ρ）的形式，再根據三角函數的圖象和性質解題．