Question

1．設f（x）是定義在R上的偶函數，對x∈R，都有f（x-2）=f（x+2），且當x∈[-2，0]時，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，若在區間（-2，6]內關于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有3個不同的實數根，則a的取值范圍是（　　）

• A． （2，3）
• B． $（\root{3}{3}，2）$
• C． $（\root{3}{4}，2）$
• D． $（\root{3}{2}，3）$

Answer 1

分析 根據題意f（x-2）=f（x+2），可得f（x+4）=f（x），周期T=4，且是偶函數，當x∈[-2，0]時，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，可以做出在區間（-2，6]的圖象，方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有3個不同的實數根，即f（x）的圖象與y=log_a（x+2）的圖象恰有3個不同的交點．可得答案．

解答 解：由題意f（x-2）=f（x+2），可得f（x+4）=f（x），
周期T=4，當x∈[-2，0]時，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，
∴可得（-2，6]的圖象如下：
從圖可看出，要使f（x）的圖象與y=log_a（x+2）的圖象恰有3個不同的交點，
則需滿足$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}（2+2）＜3}\\{lo{g}_{a}（6+2）＞3}\end{array}\right.$，
解得：$\root{3}{4}＜a＜2$．
故選C．

點評 本題主要考查方程根的個數的判斷，根據函數的奇偶性和對稱性的性質求出函數的周期性，利用數形結合是解決本題的關鍵，綜合性較強，難度較大