Question

在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別為A₁B₁和BB₁的中點，那么直線AM與CN所成的角為（　　）

• A、arccos

  3

  2

• B、arccos

  10

  10

• C、arccos

  3

  5

• D、arccos

  2

  5

Answer 1

分析：解法一：
求異面直線所成的角，一般有兩種方法，一種是幾何法，其基本解題思路是“異面化共面，認定再計算”，即利用平移法和補形法將兩條異面直線轉化到同一個三角形中，結合余弦定理來求．還有一種方法是向量法，即建立空間直角坐標系，利用向量的代數法和幾何法求解．本題可采用向量方法求解：因為

AM

=

AA1

+

A1M

，

CN

=

CB

+

BN

，所以

AM

•

CN

=

1

2

．而|

AM

|=

5

2

．同理，|

CN

|=

5

2

．
則由數量積運算即可得直線AM與CN所成的角的大小．
解法二：
分別以

DA

、

DC

、

DD1

的方向為x軸、y軸、z軸的正方向，把D點視作原點O，建立空間直角坐標系，則A（1，0，0）、M（1，

1

2

，1）、C（0，1，0）、N（1，1，

1

2

）．所以

AM

=（0，

1

2

，1），

CN

=（1，0，

1

2

）．故

AM

•

CN

=

1

2

，|

AM

|=

5

2

，|

CN

|=

5

2

．
則由數量積運算即可得直線AM與CN所成的角的大小．

解答：解：法一：∵

AM

=

AA1

+

A1M

，

CN

=

CB

+

BN

，
∴

AM

•

CN

=（

AA1

+

A1M

）•（

CB

+

BN

）=

AA1

•

BN

=

1

2

．
而|

AM

|=

( AA1 + A1M )•( AA1 + A1M )

=

| AA1 |2+| A1M |2

=

1+ 1 4

=

5

2

．
同理，|

CN

|=

5

2

．
如令α為所求之角，則cosα=

AM • CN

| AM || CN |

=

1 2

5 4

=

2

5

，∴α=arccos

2

5

．
故選D．
法二：建立如圖所示的空間直角坐標系，把D點視作原點O，
分別以

DA

、

DC

、

DD1

的方向為x軸、y軸、z軸的正方向，
則A（1，0，0）、M（1，

1

2

，1）、C（0，1，0）、N（1，1，

1

2

）．
∴

AM

=（0，

1

2

，1），

CN

=（1，0，

1

2

）．
故

AM

•

CN

=0×1+

1

2

×0+1×

1

2

=

1

2

，
|

AM

|=

02+( 1 2 )2+12

=

5

2

，
|

CN

|=

12+02+( 1 2 )2

=

5

2

．
∴cosα=

AM • CN

| AM || CN |

=

1 2

5 2 • 5 2

=

2

5

．
∴α=arccos

2

5

．
故選D．

點評：本題主要考查了異面直線所成的角，空間中的線面關系，解三角形等基礎知識，考查空間想象能力和思維能力．