Question

（理科）如圖，在棱長為1的正方體A'C中，過BD及B'C'的中點E作截面BEFD交C'D'于F．
（1）求截面BEFD與底面ABCD所成銳二面角的大小；
（2）求四棱錐A'-BEFD的體積．

Answer 1

分析：（1）連接AC、A'C'，由正方體的結構特征可得：平面ACC'A'⊥BEFD，并且其交線為OO₁，再過O₁作垂直于底面的垂線交AC于O₂，則∠O₁OO₂就是截面BEFD與底面ABCD所成角，再利用解三角形的有關知識求出答案即可．
（2）在△A′O₁O中，A′O=

6

2

，A′0₁=O₁O=

3 2

4

，所以由余弦定理可得：cos∠A′O₁O進而求出sin∠A′O₁O，所以點A'到平面BEFD的距離為：A′0₁•sin∠A′O₁O=1，再結合題意求出S_BEFD，進而求出幾何體的體積．

解答：解：（1）在棱長為1的正方體A'C中，連接AC、A'C'，
因為BD⊥AA'、BD⊥AC，
所以平面ACC'A'⊥BEFD，并且其交線為OO₁，
再過O₁作垂直于底面的垂線交AC于O₂，則∠O₁OO₂就是截面BEFD與底面ABCD所成角，
由題意可得，O1O2=1，OO2=

2

4

，
所以在Rt△O₁O₂O中有tan∠O1OO2=

1

2 4

=2

2

，
故截面BEFD與底面ABCD所成角為arctan2

2

；
（2）在△A′O₁O中，由正方體的棱長為1可得：A′O=

6

2

，A′0₁=O₁O=

3 2

4

，
所以由余弦定理可得：cos∠A′O₁O=

1

3

，所以sin∠A′O₁O=

2 2

3

，
所以點A'到平面BEFD的距離為：A′0₁•sin∠A′O₁O=

2 2

3

×

3 2

4

=1，
所以點A'到平面BEFD的距離A′H是1，由上面O1O2=1，OO2=

2

4

，得OO1=

12+( 2 4 )2

=

3 2

4

，
所以SBEFD=

2 + 2 2

2

•

3 2

4

=

9

8

，
所以四棱錐A'-BEFD的體積V=

1

3

SBEFD•A′H=

3

8

．

點評：本題主要考查二面角與幾何體的體積，而空間角解決的關鍵是做角，由圖形的結構及題設條件正確作出平面角來，是求角的關鍵；求幾何體的體積的關鍵是求出點到底面的距離與底面的面積．