Question

（2004•武漢模擬）（文科）在棱長為1的正方體ABCD-A′B′C′D′中，AC′為對角線，M、N分別為BB′，B′C′中點，P為線段MN中點．
（1）求DP和平面ABCD所成的角的正切；
（2）求四面體P-AC′D′的體積．

Answer 1

分析：（1）要求DP和平面ABCD所成的角的正切，關鍵是確定DP和面ABCD所成角，根據面BC′⊥面AC，故可作PH⊥BC，從而可得∠HDP為所求；
（2）利用三棱錐的體積公式可求．

解答：解：（1）過P作PH⊥BC于足H，連DH，
∵面BC′⊥面AC，則PH⊥面ABCD，
∴DP和面ABCD所成角即為∠HDP．
在正方形BCC′B′，M，N分別為BB′，B′C′中點，P為MN中點，
又B′C′=1，則PH=

3

4

，BH=

1

4

，CH=

3

4

，
DH=

DC2+DH2

=

1+( 3 4 )2

=

5

4

在Rt△PHD中，tan∠HDP=

3 4

5 4

=

3

5

(6分)
（2）連BC′和B′C交于Q，因為BCC′B′為正方形，則PQ⊥BC′則PQ=

1

4

B′C=

2

4

，而S△AC′D′=

1

2

•1•

2

=

2

2

∴VP-AC′D′=

1

3

•

2

2

•

2

4

=

1

12

(體積單位)(12分)

點評：本題以正方體為載體，考查是直線與平面所成的角，考查棱錐的體積，關鍵是線面角的確定．