Question

【題目】設橢圓： 的左、右焦點分別為，上頂點為，過與垂直的直線交軸負半軸于點，且恰好是線段的中點．

（1）若過三點的圓恰好與直線相切，求橢圓的方程；

（2）在（1）的條件下， 是橢圓的左頂點，過點作與軸不重合的直線交橢圓于兩點，直線分別交直線于兩點，若直線的斜率分別為，試問： 是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）為定值，且定值為.

【解析】【試題分析】（1）依據題設條件建立方程求解；（2）運用直線與橢圓的位置關系進行分析推證：

解析：（1）由題意知： ， 是線段的中點，設， ，則，因為，

所以.

由題意知： 外接圓的圓心為斜邊的中點，半徑等于.

因為過三點的圓恰好與直線相切，所以到直線的距離等于半徑，即，解得， ， ，

所以，橢圓的方程為.

（2）設，直線的方程為，由消去得：

，

所以， ，

由三點共線可知： ，即，

同理可得： ，所以，

因為，

所以，故為定值，且定值為