Question

經過長期觀測得到：在交通繁忙的時段內，某公路段汽車的車流量y（千輛/小時）與汽車的平均速度v（千米/小時）之間的函數關系為：y=

920v	v2+3v+1600

(v＞0)
（1）若要求在該時間段內車流量超過10千輛/小時，則汽車的平均速度應在什么范圍內？
（2）該時段內，當汽車的平均速度v為多少時，車流量最大？最大車流量為多少？（精確到0.1千輛/小時）

Answer 1

分析：（1）某公路段汽車的車流量y（千輛/小時）與汽車的平均速度v（千米/小時）之間的函數關系為：y=

920v

v2+3v+1600

(v＞0)可得，在該時間段內車流量超過10千輛/小時時，

920v

v2+3v+1600

＞10，解不等式即可求出v的范圍．
（2）根據基本不等式性質可知

920

3+(v+ 1600 v )

≤

920

3+2 1600

，進而求得y的最大值．根據等號成立的條件求得此時的平均速度．

解答：解：（1）由條件得 920vv2+3v+1600＞10，
整理得v2-89v+1600＜0，
即（v-25）（v-64）＜0．解得25＜v＜64．
（2）依題意，y=

920

3+(v+ 1600 v )

≤

920

3+2 1600

=

920

83

，
當且僅當v=

1600

v

，即v=40時，上式等號成立，
所以ymax=

920

83

≈11.1（千輛/時）．
∴如果要求在該時段內車流量超過10千輛/時，則汽車的平均速度應大于25km/h且小于64km/h．當v=40km/h時，車流量最大，最大車流量約為11.1千輛/時．

點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用．要特別留意等號取得的條件．