Question

經過長期觀測得到：在交通繁忙的時段，某公路段汽車的車流量y（千輛/小時）與汽車的平均速度v（千米/小時）之間的函數關系式為y=

450v	v2-50v+1600

(v＞0)．
（Ⅰ）若要求在該時段內車流量超過9（千輛/小時），則汽車的平均速度應在什么范圍？
（Ⅱ）在該時段內，當汽車的平均速度為多少時，車流量最大？最大車流量為多少？

Answer 1

分析：（Ⅰ）要使該時段內車流量不超過9千輛/小時，即使

450v

v2-50v+1600

＞9，解之即可得汽車的平均速度的控制范圍；
（Ⅱ）將已知函數化簡，從而利用基本不等式求車流量y最大值．

解答：解：（Ⅰ）由已知得：

450v

v2-50v+1600

＞9，…（2分）
即

50v

v2-50v+1600

＞1，而分母v²-50v+1600恒大于零，…（3分）
∴解之得：20＜v＜80…（7分）
∴汽車的平均速度應在每小時20\～80千米．                …（8分）
（Ⅱ）∵v＞0∴y=

450v

v2-50v+1600

=

450

v+ 1600 v -50

…（11分）
∵v+

1600

v

≥80，∴y≤15，…（14分）
當且僅當v=

1600

v

，即v=40（千米/小時）時，車流量最大，最大值為15（千輛/小時）        …（15分）
答：在該時段內，當汽車的平均速度為40（千米/小時）時，車流量最大，最大值為15（千輛/小時）．…（16分）

點評：本題以已知函數關系式為載體，考查基本不等式的使用，考查解不等式，解題的關鍵利用基本不等式求最值，同時考查計算能力，屬于中檔題．