Question

已知數列是各項均不為的等差數列，公差為，為其前 項和，且滿足，．數列滿足，為數列的前n項和．

（1）求數列的通項公式和數列的前n項和；

（2）若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（3）是否存在正整數，使得成等比數列？若存在，求出所有的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）（法一）在中，令，，

得   即        ………………………2分

解得，，

又時，滿足， ………………3分

，

．   ………………5分

（法二）是等差數列，

．       …………………………2分

由，得 ，                        

又，，則．     ………………………3分

(求法同法一)

（2）①當為偶數時，要使不等式恒成立，即需不等式

恒成立．    …………………………………6分

，等號在時取得．           

此時 需滿足．              …………………………………………7分

②當為奇數時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．      …………………………………8分

是隨的增大而增大， 時取得最小值．

此時 需滿足．            …………………………………………9分

綜合①、②可得的取值范圍是． ………………………………………10分

（3），

若成等比數列，則，

即．                           ………………………12分

由，可得，即，

．                 ……………………………………14分

又，且，所以，此時．

因此，當且僅當， 時，數列中的成等比數列．…16分

[另解：因為，故，即，

，（以下同上）．    ……………………………………14分]

【解析】略