Question

已知數列是各項均不為0的等差數列，公差為，為其前n項和，且滿足,．數列滿足,， 為數列的前項和．

（1）求數列的通項公式；

（2）若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（3）是否存在正整數，使得成等比數列？若存在，求出所有

的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1) ；（2）；（3）存在，，.

【解析】

試題分析：（1）利用通項公式和求和公式展開解析式，解方程組，得出，，寫出解析式；（2）先用裂項相消法求出，再討論的奇數偶數兩種情況，利用恒成立解題；（3）先利用等比中項列出表達式，解出.

試題解析：（1）在中，令，

得   即                2分

解得，，∴                        3分

又∵時，滿足，∴  4分

（2）∵，     5分

∴．     6分

①當為偶數時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．      7分

∵，等號在時取得．

此時 需滿足.                         8分

②當為奇數時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．

∴是隨的增大而增大， ∴時取得最小值．

此時需滿足．                   9分

∴綜合①、②可得的取值范圍是．  10分

（3），，，

若成等比數列，則，          11分

即．

由，可得，       12分

即，

∴．                               13分

又，且，所以，此時．

因此，當且僅當，時，數列中的成等比數列．  14分

考點：1.等差數列的通項公式和求和公式；2.裂項相消法求和；3.等比中項.