Question

【題目】已知拋物線：內(nèi)有一點(diǎn)，過(guò)的兩條直線，分別與拋物線交于，和，兩點(diǎn)，且滿足，，已知線段的中點(diǎn)為，直線的斜率為.

（1）求證：點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值；

（2）如果，點(diǎn)的縱坐標(biāo)小于3，求的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)證明；（2）

【解析】

（1）設(shè)中點(diǎn)為，根據(jù)向量的線性運(yùn)算可知，且，和三點(diǎn)共線，利用點(diǎn)差法可得，，即，可知軸，故為定值（2）由得到，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線方程可求，寫(xiě)出面積公式即可求最值.

（1）設(shè)中點(diǎn)為，則由，可推得，，這說(shuō)明，且，和三點(diǎn)共線.

對(duì)，使用點(diǎn)差法，可得，即.

同理.

于是，即軸，所以為定值.

（2）由得到，設(shè)，，聯(lián)立

得，所以,,

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式知P到AB的距離為，

于是，令x=,則，

，令得，當(dāng)時(shí)， ,函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為減函數(shù)，故當(dāng)，即時(shí)，有最大值.