Question

函數(shù)f(x)＝e^x＋2x²－3x．

(1)求證函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，1]上存在唯一的極值點，并用二分法求函數(shù)取得極值時相應(yīng)x的近似值(誤差不超過0.2)；(參考數(shù)據(jù)e≈2.7，≈1.6，e^0.3≈1.3)

(2)當(dāng)x≥時，若關(guān)于x的不等式f(x)≥x²＋(a－3)x＋1恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵＝3ax2＋(sin)x－2 　　由題設(shè)知：即， 　　∴sin＝1 　　(2)將sin＝1代入①式得，∴，而又由得， 　　∴ 　　∴即為所求． 　　(3)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)易知f(x)在(－∞，－2)及(1，＋∞)上均為增函數(shù)， 　　在(－2，1)上為減函數(shù)． 　　(i)．當(dāng)m＞1時，f(x)在[m，m＋3]上遞增．故f(x)max＝f(m＋3)，f(x)min＝f(m) 　　由f(m＋3)－f(m)＝(m＋3)3＋(m＋3)2－2(m＋3)－ 　　＝3m2＋12m＋得－5≤m≤1．這與條件矛盾故舍去． 　　(ii)．當(dāng)0≤m≤1時，f(x)在[m，1]上遞減，在[1，m＋3]上遞增 　　∴f(x)min＝f(1)，f(x)max＝{f(m)，f(m＋3)}max 　　又f(m＋3)－f(m)＝3m2＋12m＋＝3(m＋2)2－＞0(0≤m≤1) 　　∴f(x)max＝f(m＋3) 　　∴|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min＝f(m＋3)－f(1)≤f(4)－f(1)＝恒成立， 　　故當(dāng)0≤m≤1原式恒成立． 　　綜上：存在m且m∈[0，1]合乎題意．