Question

若實數x、y同時滿足：3x+4y≤12，x+4y≥4，3x+2y≥6，則log₃x+log₃y的最大值是

 

．

Answer 1

分析：先畫出二元一次不等式組表示的平面區域ABC，然后令z=xy＞0 則y=

z

x

，畫出函數y=

z

x

的圖象，當函數y=

z

x

與AB相切時z最大，從而利用判別式求出z的最值，從而求出log₃x+log₃y的最大值．

解答：解：先畫出區域3x+4y≤12，x+4y≥4，3x+2y≥6，
表示圖中陰影部分及為三角形ABC
令z=xy＞0 則y=

z

x

畫出函數y=

z

x

的圖象，當函數y=

z

x

與AB相切時z最大

y= z x 3x+4y=12

即3x+4×

z

x

=12
∴3x²-12x+4z=0只有一個根則144-48z=0
即z=3
∴xy的最大值是3
log₃x+log₃y=log₃xy≤log₃3=1
故答案為：1

點評：本題主要考查了簡單線性規劃，以及二元一次不等式組表示的平面區域，屬于中檔題．