【題目】如圖所示，在四棱錐S-ABCD中，四邊形ABCD是菱形，
，
，點P，Q，M分別是線段SD，PD，AP的中點，點N是線段SB上靠近B的四等分點．
（1）若R在直線MQ上，求證：
平面ABCD；
（2）若
平面ABCD，求平面SAD與平面SBC所成的銳二面角的余弦值．
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
（1）利用面面平行的判定定理、面面平行的性質定理即可證出.
（2）以D為坐標原點，建立空間直角坐標系
，不妨設
，求出平面SBC的一個法向量與平面SAD的一個法向量，利用向量的數量積即可求解.
（1）依題意，
，故
，
而
平面ABCD，
平面ABCD，故
平面ABCD；
因為
，故
，
而
平面ABCD，
平面ABCD，故
平面ABCD；
因為
，故平面
平面ABCD；
因為
平面QMN，故
平面ABCD；
（2）如圖，
以D為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，不妨設，
則
，
，
，
，
∴
，
，
設平面SBC的一個法向量為
，則
，
取
，可得
，
易知平面SAD的一個法向量
，
設平面SAD與平面SBC所成銳二面角為
，則
，
∴平面SAD與平面SBC所成銳二面角的余弦值為.
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【題目】設
，
是兩條不同的直線，
，
，
是三個不同的平面，給出下列四個命題：
①若
，
，則
②若
，
，，則
③若
，，則
④若
，
，則
其中正確命題的序號是（ ）
A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④
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【題目】設曲線
上一點
到焦點的距離為3．
（1）求曲線C方程；
（2）設P，Q為曲線C上不同于原點O的任意兩點，且滿足以線段PQ為直徑的圓過原點O，試問直線PQ是否恒過定點？若恒過定點，求出定點坐標；若不恒過定點，說明理由．
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【題目】若函數
滿足:對于任意正數
，都有
，且
，則稱函數為“L函數”．
（1）試判斷函數
與
是否是“L函數”；
（2）若函數
為“L函數”，求實數a的取值范圍；
（3）若函數為“L函數”，且
，求證：對任意
，都有
．
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【題目】已知橢圓
：
，直線
交橢圓于
，
兩點.
（1）若點
滿足
（
為坐標原點），求弦
的長；
（2）若直線的斜率不為0且過點
，
為點關于
軸的對稱點，點
滿足
，求
的值.
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【題目】如圖，三個校區(qū)分別位于扇形OAB的三個頂點上，點Q是弧AB的中點，現欲在線段OQ上找一處開挖工作坑P（不與點O，Q重合），為小區(qū)鋪設三條地下電纜管線PO，PA，PB，已知OA＝2千米，∠AOB＝
，記∠APQ＝θrad，地下電纜管線的總長度為y千米．
（1）將y表示成θ的函數，并寫出θ的范圍；
（2）請確定工作坑P的位置，使地下電纜管線的總長度最小．
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【題目】設函數
在
上有定義，實數
和
滿足
.若在區(qū)間
上不存在最小值，則稱在區(qū)間上具有性質P.
（1）當
，且在區(qū)間
上具有性質P，求常數C的取值范圍；
（2）已知
，且當
時，
，判別在區(qū)間
上是否具有性質P；
（3）若對于滿足的任意實數和，在區(qū)間上具有性質P，且對于任意
，當
時，有：
，證明：當
時，
.
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【題目】根據某省的高考改革方案，考生應在3門理科學科（物理、化學、生物）和3門文科學科（歷史、政治、地理）的6門學科中選擇3門學科參加考試.根據以往統計資料，1位同學選擇生物的概率為0.5，選擇物理但不選擇生物的概率為0.2，考生選擇各門學科是相互獨立的.
（1）求1位考生至少選擇生物、物理兩門學科中的1門的概率；
（2）某校高二段400名學生中，選擇生物但不選擇物理的人數為140，求1位考生同時選擇生物、物理兩門學科的概率.
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