Question

如圖所示，EP交圓于E，C兩點，PD切圓于D，G為CE上一點且PG=PD，連接DG并延長交圓于點A，作弦AB垂直EP，垂足為F．
（Ⅰ）求證：AB為圓的直徑；
（Ⅱ）若AC=BD，AB=5，求弦DE的長．

Answer 1

考點：與圓有關的比例線段,直線和圓的方程的應用

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）由已知PG=PD，得到∠PDG=∠PGD，由切割弦定理得到∠PDA=∠DBA，進一步得到∠EGA=∠DBA，從而∠PFA=∠BDA．最后可得∠BDA=90°，說明AB為圓的直徑；
（Ⅱ）連接BC，DC．由AB是直徑得到∠BDA=∠ACB=90°，然后由Rt△BDA≌Rt△ACB，得到∠DAB=∠CBA．再由∠DCB=∠DAB可推得DC∥AB．進一步得到ED為直徑，則ED長可求．

解答： （Ⅰ）證明：∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，
由于PD為切線，故∠PDA=∠DBA，
又∵∠EGA=∠PGD，∴∠EGA=∠DBA，
∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD，
從而∠PFA=∠BDA．
又AF⊥EP，∴∠PFA=90°，則∠BDA=90°，
故AB為圓的直徑．

（Ⅱ）解：連接BC，DC．
由于AB是直徑，故∠BDA=∠ACB=90°．
在Rt△BDA與Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，從而得Rt△BDA≌Rt△ACB，
于是∠DAB=∠CBA．
又∵∠DCB=∠DAB，∴∠DCB=∠CBA，故DC∥AB．
∵AB⊥EP，∴DC⊥EP，∠DCE為直角，
∴ED為直徑，又由（1）知AB為圓的直徑，
∴DE=AB=5．

點評：本題考查了直線和圓的位置關系，考查了圓的切割線定理的應用，是中檔題．