Question

如圖，半圓O的直徑為2，A為直徑延長線上的一點，OA＝2，B為半圓上任意一點，以AB為一邊作等邊三角形ABC.問：點B在什么位置時，四邊形OACB面積最大？

Answer 1

點B在使∠AOB＝的位置時，四邊形OACB面積最大

試題分析：在中,由已知OA=2,OB=1,設∠AOB=,則可應用余弦定理將AB的長用的三角函數表示出來,進而四邊形OACB面積S＝S_△AOB＋S_△AB表示成為的三角函數,再注意將三角函數化簡成為的形式,就可求得使四邊形OACB面積最大的角的值,從而就可確定點B的位置.
試題解析：設∠AOB＝α，                      .1分
在△AOB中，由余弦定理得
AB²＝OA²＋OB²－2×OA×OBcos∠AOB
＝1²＋2²－2×1×2×cosα
＝5－4cosα，                      .4分
于是，四邊形OACB的面積為
S＝S_△AOB＋S_△ABC＝OA·OBsinα＋AB²               6分
＝×2×1×sinα＋(5－4cosα)
＝sinα－cosα＋
＝2sin＋.                   .10分
因為0＜α＜π，所以當α－＝，α＝，
即∠AOB＝時，四邊形OACB面積最大12分          12分