Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，其左右焦點分別為F₁、F₂，A、B分別為橢圓的上、下頂點，如果四邊形AF₁BF₂為邊長為2的正方形．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設橢圓的左、右頂點為M，N，過點M作x軸的垂線l，在l上任取一點P，連接PN交橢圓C于Q，探究

OP

•

OQ

是否為定值？如果是，求出定值；如果不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）四邊形AF₁BF₂是邊長為2的正方形，求得a和b，則橢圓的方程可得．
（2）設直線PN：y=k（x-a），則P點坐標可知，把直線方程與橢圓方程聯立消去y，根據韋達定理求得a•x_Q的表達式，進而求得x_Q的表達式，代入直線方程求得y_Q的表達式，表示出

OP

•

OQ

，結果為定值．

解答：解：（Ⅰ）∵四邊形AF₁BF₂是邊長為2的正方形，
∴a=2，b=c=

2

∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

2

=1
（Ⅱ）設直線PN：y=k（x-a），
∴P（-a，-2ka）
∵

y=k(x-a) x2+2y2=4

?(1+2k2)x2-4k2ax+2k2a2-4=0
∴a•xQ=

2k2a2-4

1+2k2

?xQ=

2k2a2-4

(1+2k2)a

yQ=k(

2k2a2-4

(1+2k2)a

-a)=

-(a2+4)k

a(1+2k2)

∴

OP

•

OQ

=xPxQ+yPyQ=

4-2k2a2

1+2k2

+

2k2(4+a2)

1+2k2

=4定值．

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程，向量的基本計算，直線與橢圓的關系等．考查了學生綜合分析問題的能力．