Question

【題目】學號為1，2，3的三位小學生，在課余時間一起玩“擲骰子爬樓梯”游戲，規則如下：投擲一顆骰子，將每次出現點數除以3，若學號與之同余(同除以3余數相同)，則該小學生可以上2階樓梯，另外兩位只能上1階樓梯，假定他們都是從平地(0階樓梯)開始向上爬，且樓梯數足夠多.

（1）經過2次投擲骰子后，學號為1的同學站在第X階樓梯上，試求X的分布列；

（2）經過多次投擲后，學號為3的小學生能站在第n階樓梯的概率記為，試求，，的值，并探究數列可能滿足的一個遞推關系和通項公式.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析.（2），，，

【解析】

（1）由題意學號為1的同學可以上2階樓梯的概率為，可以上1階樓梯的概率為，分別求出、、，即可得解；

（2）由題意可得、、；由題意且，構造新數列即可得數列是以為首項，以為公比的等比數列，再利用累加法即可得解.

（1）由題意，當投擲骰子出現1、4時，學號為1的同學可以上2階樓梯，概率為，

當投擲骰子出現其他點數時，學號為1的同學可以上1階樓梯，概率為，

由題意，

所以，，，

所以X的分布列為：

X	2	3	4
P

（2）表示學號為3的小朋友能站在第1階樓梯的概率，

根據投擲骰子的規則，若出現點數為3或6，則他直接站在第2階樓梯，否則站在第1階樓梯.

故，同理可得：

，，

由于學號為3的小朋友能夠站在第n階樓梯，有兩種可能：

從第階樓梯投擲點數為3或6直接登2個臺階上來，

或從第階樓梯只登1個臺階上來.

根據骰子投擲規則，登兩階的概率是，登一階的概率是，

故且(*)

將(*)式可變形為，

從而知：數列是以為首項，以為公比的等比數列，

則有.

進而可得：當時，

；

當時，；

所以.