Question

【題目】已知數列滿足，當時，.

（1）求數列的通項公式；

（2）若，數列的前項和為，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析；

【解析】

（1）根據原等式遞推，得到和之間的關系，然后得到數列是等差數列，最后根據等差數列的通項公式即可求解數列的通項公式，也可將已知等式轉化為和之間的關系式，得到數列是等差數列，并求出，再根據和之間的關系求出數列的通項公式；（2）先由（1）得到數列的通項公式，并將其轉化為可以裂項的形式，再利用裂項相消法求得，最后根據數列的增減性即可證明.

解：（1）因為當時，，①

所以，②

②-①得，，即，即，

又，所以，

所以數列是首項為2，公差為1的等差數列，

所以，所以.

故數列的通項公式為.

（2）由（1）知，

所以，

所以

.

又數列是遞減數列，所以，

所以，

故.