Question

【題目】已知函數，且的最小值為．

（1）求實數的值及函數的單調遞減區間；

（2）當時，若函數有且僅有一個零點，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）或；，；（2）或．

【解析】

（1）先根據二倍角公式及輔助角公式將函數化為（，，為常數，且，）的形式，再根據函數的最小值求實數的值，最后根據正弦函數的單調性求函數的單調遞減區間；（2）將在上有僅有一個零點等價轉化為時，與的圖象有且僅有一個交點，然后數形結合即可求解．

（1）由題意知，

，

其中，

由的最小值為，得，

解得或，

∵，∴，

∴．

令，，解得，，

故函數的單調遞減區間為，．

（2）∵在上有僅有一個零點，

∴當時，與的圖象有且僅有一個交點．

當時，，

令，，，則與，的圖象有且僅有一個交點，數形結合可知當或時符合要求，

即或時符合要求，

故實數的取值范圍為或．