Question

已知函數y=

1

x-3

的定義域為集合A，y=-x²+2x+2a的值域為B．
（1）若a=2，求A∩B
（2）若A∪B=R，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：求出函數y=

1

x-3

的定義域確定出A，求出y=-x²+2x+2a的值域確定出B，
（1）把a=2代入確定出B，求出A與B的交集即可；
（2）由A與B的并集為R，列出關于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范圍．

解答：解：依題意：整理得A={x︳x＞3}，函數y=-x²+2x+2a=-（x-1）²+1+2a≤1+2a，即B={x︳x≤2a+1}，
（1）當a=2時，B={x|x≤5}，
∴A∩B={x︳3＜x≤5}；
（2）∵A∪B=R，∴根據題意得：2a+1≥3，
解得：a≥1，
則實數a的取值范圍是[1，+∞）．

點評：此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵．